Análisis de un contraste de hipótesis

Contraste de Hipótesis para la Media

En un contraste de hipótesis entre la media en \( H_0 \) y la media en \( H_1 \), planteamos las siguientes hipótesis:

Hipótesis nula:

\[ H_0: \mu = \mu_0 \]

Hipótesis alternativa:

\[ H_1: \mu \neq \mu_0 \]

Para evaluar esta hipótesis, utilizamos una prueba basada en la media muestral \(\bar{X}\), asumiendo que sigue una distribución normal si el tamaño de la muestra es grande o si la población es normal:

\[ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \]

donde:

• \(\mu_0\) es la media bajo la hipótesis nula.
• \(\sigma\) es la desviación estándar de la población (si es conocida).
• \(n\) es el tamaño de la muestra.

La regla de decisión depende del nivel de significancia \(\alpha\). Para un contraste bilateral, rechazamos \( H_0 \) si:

\[ |Z| > Z_{\alpha/2} \]

donde \( Z_{\alpha/2} \) es el valor crítico de la distribución normal estándar para el nivel de significancia \(\alpha/2\).

Contraste de Hipótesis para la Diferencia de Medias

En este contraste de hipótesis, evaluamos si existe una diferencia significativa entre dos medias, \(\mu_0\) y \(\mu_1\), bajo las siguientes hipótesis:

Hipótesis nula:

\[ H_0: \mu_0 = \mu_1 \]

Hipótesis alternativa:

\[ H_1: \mu_0 \neq \mu_1 \]

Este contraste se basa en la diferencia de medias \(\bar{X}_0 - \bar{X}_1\), asumiendo que cada media sigue una distribución normal si los tamaños de las muestras son grandes o si las poblaciones son normales:

\[ Z = \frac{\bar{X}_0 - \bar{X}_1}{\sqrt{\frac{\sigma_0^2}{n_0} + \frac{\sigma_1^2}{n_1}}} \]

donde:

• \(\mu_0\) es la media bajo la hipótesis nula.
• \(\mu_1\) es la media bajo la hipótesis alternativa.
• \(\sigma_0\) y \(\sigma_1\) son las desviaciones estándar de cada grupo.
• \(n_0\) y \(n_1\) son los tamaños de muestra de cada grupo.

La regla de decisión depende del nivel de significancia \(\alpha\). Para un contraste bilateral, rechazamos \( H_0 \) si:

\[ |Z| > Z_{\alpha/2} \]

Análisis de Errores

En este gráfico, representamos las áreas de error tipo I (donde rechazamos \( H_0 \) incorrectamente) y error tipo II (donde no rechazamos \( H_0 \) cuando \( H_1 \) es cierto). También mostramos el tamaño del efecto, que es la diferencia entre las medias de \( H_0 \) y \( H_1 \), para visualizar la magnitud de la diferencia entre ambas hipótesis.

Interpretación:

• Error tipo I: Sombreado en azul, representa el área donde rechazamos \( H_0 \) incorrectamente.
• Error tipo II: Sombreado en rojo, representa el área donde aceptamos \( H_0 \) cuando \( H_1 \) es cierto.
• Tamaño del efecto: La línea verde representa la diferencia entre las medias de \( H_0 \) y \( H_1 \), indicando la magnitud de esta diferencia.