Ejercicios

Entrega: Martes 2/11 8 de la mañana

Python en Jupyter Nootebook

En el ejercicio con las cartas, teniamos que la población eran los 10 valores de las cartas.

El valor de la media de la población, \(\mu\), es de 5.5.

Vamos a utilizar Python para demostrar que el estimador \(X_1\), primer valor extraido de las cartas, es un estimador insesgado de la media de la población.

• 1.1.- ¿Qué significa que \(X_1\) sea un estimador insesgado del parámetro \(\mu\)?Justifique.
• 1.2.- Diseñe un algoritmo en Python que permita demostrar que \(X_1\) es un estimador insesgado del parámetro \(\mu\).
• Ayuda: desestructurar el concepto de insesgadez en una serie de pasos que puedan ser programados y demuestren que el estimador es insesgado
• 1.3.- Programe dicho algoritmo en Python. El resultado debe demostrar que el estimador es insesgado.
• 1.4.- Programe la varianza de este estimador en Python.

Ahora vamos a utilizar como estimador de la media de la población \(X_2 = \frac{X_1+X_2}{2}\), el promedio del valor de la primera y segunda carta.

• 2.1.- Demuestre, usando Python, que este estimador es insesgado.
• 2.2.- Obtenga la varianza de dicho estimador usando Python.
• 2.3.- ¿Cual de las dos varianzas es menor, la de 1.4 o la de 2.2. Demuestre que esto es así matematicamente

3.- Demuestre que la varianza del estimador \(\overline{X}_N = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i\) es \(\sigma^2/N\) donde \(\sigma^2\) es el parámetro que recoge la varianza de la población de donde se extraen los valores de la variable aleatoria \(X\).

3.1. Interprete qué significa.

4.- Copie el siguiente codigo en JN, ejecutelo e interprete el gráfico. Tener en cuenta el juego de cartas que hicimos en clase, i.e., cada alumno es una muestra (iteración) distinta.

import numpy as np
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

# Generar la lista de cartas y e inicializar containers para almacenar los valores promedio acumulativos
cartas = [i for i in range(1, 11)]
estimador = []
promedios_acumulados = []

# Iterar y calcular el promedio acumulado
for i in range(1, 2000):
    estimador.append(np.random.choice(cartas, 1))
    promedio_acumulado = np.mean(estimador)
    promedios_acumulados.append(promedio_acumulado)

# Crear un DataFrame para usar con Seaborn
import pandas as pd
df = pd.DataFrame({
    'Iteración': range(1, 2000),
    'Promedio Acumulado': promedios_acumulados
})

# Graficar con Seaborn
plt.figure(figsize=(10, 6))
sns.lineplot(data=df, x='Iteración', y='Promedio Acumulado', label='Promedio acumulado')
plt.axhline(y=np.mean(cartas), color='red', linestyle='--', label='Promedio teórico')
plt.xlabel('Número de muestras')
plt.ylabel('Promedio acumulado')
plt.title('Evolución del promedio acumulado de cartas seleccionadas')
plt.legend()
sns.despine()
plt.show()